Innovative Lernspiele zur Geometrie und Algebra
auf der Lernsoftware-CD-ROM
„Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6“
Überblick
|
Das Softwarepaket „Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6“ beinhaltet 60 interaktive Bildschirm-Experimente, Spiele, Simulationen und Übungen zu Themen und Begrifflichkeiten der Schulmathematik. Links sind die Hauptthemen des Lernpakets aufgelistet; zu jeder Kategorie gibt es didaktisch ausgestaltete Lerneinheiten für ein gemeinsames Experimentieren in der Schulklasse oder zum Nachlernen daheim am PC. |
Das Programm richtet sich gleichermaßen an Lehrkräfte und Lernende dieser Jahrgangsstufen: es dient insbesondere der Erkundung mathematischer Zusammenhänge und dem aufmerksamen Beobachten von symbolisch-grafischen Wechselwirkungen.
Begriffe und Symbole sind eingebettet in einen vordefinierten Handlungsrahmen, in dem die unterschiedlichsten mathematischen Ideen zum Ausdruck gebracht werden. Sobald der Lernende in das Experiment eingreift und sich die Bildmuster verändern, ereignet sich eine Art Zwiegespräch zwischen Beobachter und Beobachtetem: Welche sichtbaren Veränderungen bewirkt mein Handeln? Wie lassen sich die Reaktionen des Programms in Worte fassen? Was wird passieren, wenn ... ? So wird gleichsam ein Frage-Antwort-Spiel initiiert, dessen Ziel es ist, ein tieferes Verständnis für mathematische „Phänomene“ zu gewinnen. Jedes Experiment zeigt sich dabei sinnbildlich als Theaterbühne auf dem verschiedene Akteure zu einem besonderen Schauspiel beitragen. Der Lernende verwandelt sich zum Regisseur und taucht gleichzeitig als Handelnder in das Geschehen ein. Je mutiger er die Fäden in die Hand nimmt, um so reichhaltiger wird auch die „Inszenierung“ und die zurückgespiegelten Erkenntnisse.
Forschen und Entdecken
Zwei beispielhafte Ideen des Lernpaketes „Lernen Experimental Mathematik Klasse 5+6“ sollen hier näher diskutiert werden, um den experimentellen Charakter des Programms zu illustrieren und vielfältige Verwendungsmöglichkeiten –für Unterricht und Selbststudium - aufzuzeigen.
Spielidee zur Geometrie
Spielbeschreibung
In einer Spielidee zur Geometrie sollen Lernende (der fünften Klasse) mit den Eigenschaften “Flächeninhalt“ „Umfang“, und „Anzahl der Ecken“ vertraut gemacht werden. Das Spiel kann gemeinsam in der Schulklasse oder alleine gegen den Computer als Aufgabensteller gespielt werden. Auf einem Gitternetz aus quadratischen Elementen soll eine Figur gesetzt werden, die gleichzeitig drei Randbedingungen erfüllen muß: Flächeninhalt, Umfang und Anzahl der Ecken. Die einzelnen Quadrate der Figur müssen über mindestens eine Ecke miteinander in Kontakt stehen.
Aufgabenbeispiel
 |
Die rechte Figur bleibt noch abgedeckt, weil nicht alle drei Angaben übereinstimmen. Am Flächeninhalt ist abzulesen, dass noch ein Quadrat gesetzt werden muß – der Umfang soll von 10 m auf 12 m anwachsen und es dürfen auch nur zwei Ecken hinzukommen! |
mögliche Lösung
 |
Die drei Zahlenwerte stimmen nun und das Programm deckt die vorgegebene Figur (rechts) auf. Aber das Spiel ist noch nicht zu Ende: die graphischen Muster sind nicht identisch! |
Diskussion
Ein wenig entttäuscht -aber auch erstaunt- dürfte der Spieler sein, wenn zwar alle drei Zahlenangaben paarweise übereinstimmen und gleichzeitig die beiden Figuren unterschiedlich gesetzt sind, weil sie verschiedene graphische Muster bilden. Der Lernende mag sich fragen, ob er nun Gewinner oder Verlierer ist – hat sich das Programm getäuscht? Wie kann es sein, dass etwas gleichzeitig stimmt (Zahlen, Symbole) und nicht stimmt (Grafik, Muster, Gestalt)? Die Kategorien „richtig“ und „falsch“ scheinen hier nicht zu greifen. Es war ja nicht verlangt, genau das vorgegebene Muster zu finden – nur die Randbedingungen sollten eingehalten werden. Wie wird der Spieler mit der rätselhaften Situation umgehen? Welche Fragen werden ihm einfallen, um zu verstehen, dass es viele Muster zu denselben Randbedingungen geben kann?
Je nachdem, wie sich der Lernende auf diese unerwartete Zumutung hin verhält, wird er noch eine Weile irrtiert sein und womöglich die Antwort eines Experten anfordern, oder er nimmt das kognitive Unbehagen zum Anlass neugierig zu werden, um dem Problem mutig auf den Grund zu gehen. Hier trennen sich die Wege zwischen Lerntypen, die sich eindeutige Ergebnisse wünschen und solchen, die problemorientiert und forschermäßig an eine Situation herangehen. Es kommt nun auf das Geschick der Lehrkraft an, in welcher „Dosis“ dem Spieler Hilfestellungen und Denkimpulse angeboten werden. Wenn das Spiel in der Klasse durchgeführt wird, kann der rätselhafte Spielausgang dazu dienen, sich gemeinsam neue Fragen an das Experiment auszudenken, um systematisch die Eigenschaften und die besonderen Wechselwirkungen zwischen Symbolen und Bildern zu erkunden und zu verstehen.
Das Spiel fördert die Wahrnehmung von Mustern und ihre zahlenmäßige Interpretierbarkeit. Grafische Formen sind nicht nur visuelle Objekte, sondern Träger bestimmter quantifizierbarer Eigenschaften, wie zum Beispiel Umfang, Flächeninhalt und Anzahl der Ecken. Sobald der Spieler die Figur auch nur um einen Spielstein erweitert, reagiert das Programm und liefert ein neues zahlenmäßiges Resultat. Hier ereignet sich ein bedeutungsvoller Dialog zwischen Spieler und Experiment: werden sich die Zahlenwerte so ändern, wie ich mir das vorgestellt habe? Wo muß ich die Figur um einen Spielstein ergänzen, damit der Umfang stärker wächst als die Eckenanzahl? Wie sieht eine Figur mit maximalem Umfang und minimalem Flächeninhalt aus? Damit wird auch ein Blick in die Physik und Biologie eröffnet, wo die hier gewonnenen Einsichten als Propädeutikum dienen können, thermische und physiologische Eigenschaften dreidimensionaler Körper besser zu verstehen: Wärmeverlust bei großen und kleinen Tieren, Oberflächenmaximierung der Verdauungsorgane durch mannigfache Faltung von Organ-Innenwänden.
Anregungen
Vielfältige Frage-Antwort-Spiele können mit der Experimentierumgebung dieser Spielidee inszeniert werden. Läßt man die SchülerInnen eine Weile experimentieren, mit dem Auftrag, sich experimentelle Aufgaben füreinander auszudenken, werden viele von ihnen auf eine Reihe interessanter Fragen stoßen. Nachfolgend seien einige Vorschläge zum Ausprobieren genannt.
 |
Dargestellt sind fünf Figuren (Experimente) in einem Bild. Verlängere die Ausgangsfigur (ein Quadrat) um jeweils ein Quadrat und beschreibe zahlenmäßig wie sich der Umfang dabei ändert. |
|
 |
Dargestellt sind drei Figuren (Experimente) in einem Bild. Erzeuge verschieden große quadratische Figuren und ermittle jeweils Flächeninhalt und Umfang. |
|
 |
Dargestellt sind drei Figuren (Experimente) in einem Bild. Rechne Umfang und Flächeninhalt aller drei Figuren aus und baue sie dann nach. Vergleiche die vom Programm angezeigten Zahlenwerte mit deinen Rechenergebnissen. Finde durch Nachdenken heraus, wie groß Umfang und Flächeninhalt einer solchen Figur der Kantenlänge 10 LE (=Längeneinheiten) ist. |
|
 |
Dargestellt sind fünf Figuren (Experimente) in einem Bild. Setze ein Quadrat und ergänze es mit einem weiteren Quadrat, das über eine Ecke mit ihm Kontakt hat. Verlängere die Figur auf diese Weise mit weiteren Quadraten. Ermittle jeweils Flächeninhalt, Umfang und Eckenanzahl |
|
 |
Dargestellt sind drei Figuren (Experimente) in einem Bild. Setze eine gleichschenklige L-förmige Figur und ermittle jeweils Flächeninhalt und Umfang |
|
 |
Dargestellt sind drei Figuren (Experimente) in einem Bild. Betrachte die drei Figuren links. Baue auf einer leeren Fläche eine Figur mit vier Quadraten in der untersten Reihe nach. Ermittle möglichst geschickt Flächeninhalt, Umfang und Eckenanzahl. |
|
 |
Baue diese treppenförmige Figur nach. Wie ändern sich Flächeninhalt, Umfang und Eckenanzahl, wenn die Figur eine weitere Stufe dazuerhält. |
|
 |
Wie muß die Figur erweitert werden, damit sie zwei Ecken weniger als die angezeigte hat und der Umfang dabei gleich bleibt?
Lösung:
|
|
 |
Ergänze beide Figuren so mit einem zusätzlichen Quadrat, dass der Umfang jeweils um 4 LE abnimmt. Wie verhält sich dabei die Anzahl der Ecken? |
|
 |
Betrachte zwei Figuren, die beide den Flächeninhalt 2 FE besitzen. Finde heraus, wie sie sich in Umfang und Eckenanzahl voneinander unterscheiden. |
|
Zwei Figuren A und B bestehen aus jeweils drei Quadraten.
Figur A hat den Flächeninhalt 12 FE und 10 Ecken.
Figur B hat den Flächeninhalt 8 FE und 4 Ecken.
Stelle dir vor, wie die zwei Figuren A und B aussehen könnten.
Lösung: 
Finde möglichst viele Figuren mit den folgenden Eigenschaften:
Flächeninhalt 9 FE, Umfang 20 LE, 12 Ecken.
Lösungsbeispiele:
Wieviele Beispiele lassen sich eigentlich dazu (er-)finden?
Spielidee zur Algebra
Spielbeschreibung
In diesem Spiel geht es um die mathematische Idee der Dualzahlen und das Erforschen eines speziellen Stellenwertsystems, in dem nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen. Um dem Thema einen gewissen Spielcharakter zu verleihen, sind anstelle dieser beiden Ziffern abstrakte Männchen in sitzender (für die Ziffer 0) oder stehender (für die Ziffer 1) Position gewählt. So zeigt sich das Hochzählen nicht mehr im geordneten Wechsel zweier Symbole, sondern als raffiniertes Figurenballet, bei dem alle Akteure einer zunächst eigenwillig anmutenden Regie folgen. Das Auf und Ab hat System und geschieht nicht zufällig. Ziel des Spiels ist es, den Bewegungswechsel der Figuren aufmerksam zu beobachten und seinen Mechanismus zu durchschauen. Es gilt Vorhersagen zu machen, noch ehe der nächste experimentelle Schritt durchgeführt worden ist. Weil die Schrittweite beim Hochzählen variiert werden kann, setzen sich die Figuren-Muster immer wieder neu und verändert zusammen – was zu vielen reizvollen und herausfordernden Spielvarianten führt.
Aufgabenbeispiel
Die Experimentieroberfläche zeigt zu Beginn beispielsweise fünf sitzende Figuren. Nun wird in Einerschritten hochgezählt. Bevor das nächste Figurenmuster angezeigt wird, kann sich der Lernende überlegen, wie die Situation aussehen könnte – Wird das Experiment ausgelöst und die nächste Dualzahl graphisch angezeigt, kann er seine Annahme sofort korrigieren und solange weiterforschen, bis er immer deutlicher wahrnimmt, welche Veränderungen eintreten und erkennt, wie der Mechanismus der Musteränderungen aufgebaut ist.
 |
Startsituation Dezimalzahl 0: |
|
 |
Das erste Männchen steht auf und es wird die Dezimalzahl 1 dargestellt. |
|
 |
Das zweite Männchen steht auf und es zeigt sich die Dezimalzahl 2 |
|
Diskussion
Wie wird die Geschichte wohl weitergehen? Steht beim nächsten Schritt das dritte Männchen auf und das zweite Männchen setzt sich wieder hin? Eine solche Vermutung ist gar nicht so abwegig – das System konnte noch nicht viele Antworten geben: der Spielraum möglicher Reaktionen des Programms ist einfach noch zu groß.
Bei dieser Vorgehensweise des Wissenserwerbs wird eine paradigmatische Besonderheit in der experimentellen Mathematik sichtbar: der Lernende nähert sich den inneren Strukturen mathematischer Zusammenhänge auf phänomenologische Weise als Forscher und Entdecker von noch unbekanntem Terrain: Wieviel Sinnhaftigkeit und Ordnung im Experiment verborgen liegt, mag derjenige am ehesten entdecken, der vor unerwarteten Antworten nicht zurückschreckt und sie im Gegenteil zum Anlass nimmt, mutig weiterzuforschen, zu beobachten und über die Reaktionen nachzudenken.
Das Risiko, einer irrtümlichen Annahme erliegen zu können, ist ein wichtiger Bestandteil des Lernprozesses und –wie im Lebensalltag - auch gar nicht zu vermeiden. Die alten Kategorien von „richtig“ und „falsch“ werden ersetzt durch „passend“ und „unpassend“ (Ernst v. Glasersfeld spricht hier im Kontext des Konstruktivismus von „Viabilität“). Die wachsende Geschicklichkeit im Einnehmen vieler Blickwinkel auf das Problem zählt und der eigenmotivierte Wunsch, auch Neugierde genannt, den „Trick“ durchschauen zu wollen.
 |
Beim Wechsel von 2 nach 3 steht das erste Männchen wieder auf |
|
 |
Beim vierten Schritt zur Darstellung der Zahl 4 setzen sich die ersten beiden Männchen wieder hin, dafür steht aber das dritte Männchen auf. |
|
Während der Lernende diese Bilderfolge Schritt für Schritt weiterverfolgt, bemerkt er allmählich, dass eine Figur immer nur nach bestimmten Musterkonstellationen vom Zustand „Sitzen“ in den Zustand „Stehen“ wechselt: vielleicht testet er seine Vermutung an nachfolgender Situation, die eine ähnliche Ausgangslage wie die Dezimalzahl 3 darstellt:
 |
Angezeigt wird das grafische Figurenmuster zur Dezimalzahl 7. Wie wird wohl das Muster zum Nachfolger –die Zahl 8- aussehen? |
|
 |
Das Schema wird immer deutlicher: die drei eben noch stehenden Männchen setzen sich wieder hin, und dafür steht der linke Nachbar auf. Dies illustriert das Weiterzählen von der Zahl 7 zur Zahl 8. |
|
Anregungen
Die Sequenz des schrittweiten Hochzählens und Darstellens von Dualzahlen kann auch im Klassenzimmer von den Schülern selbst nachgespielt werden. Fünf SchülerInnen übernehmen die Rolle der fünf Männchen und stellen sich seitlich vor die Klasse und gehen dort in die Hocke, so dass linker Hand die Tafel ist und jeder den Rücken seines Vorgängers (hin zu kleineren Stellen) im Blick hat. Jeder Schüler übernimmt jetzt die Verantwortung für eine Stelle innerhalb der Dualzahl.
Mit zwei Regeln läßt sich der Bewegungsprozess steuern: Dem Schüler auf der Einerstelle (ganz rechts) wird mitgeteilt, dass er sich im Rhythmus des Taktgebers (Händeklatschen des Lehrers oder der Schulklasse) einfach auf und ab bewegen soll. Allen anderen Spielern wird aufgetragen, nur dann zu reagieren (aufzustehen, wenn man hockt, oder in die Hocke zu gehen, wenn man steht), wenn alle Vorgänger, die eben noch standen beim nächsten Zählschritt wieder in die Hocke gehen.
Eine mathematische Idee wird auf diese Weise über die Körpermotorik in einem sozialen Kontext mit anderen Schülern erfahrbar gemacht; obwohl jeder einzelne nur eine Regel zu befolgen hat, nämlich alle Vorgänger gut zu beobachten, ordnet sich das Ganze schließlich zu einer wirkungsvollen Sequenz aufeinanderfolgender Bewegungsmuster. Das Spiel versteht sich als Propädeutikum für das Stellenwertsystem der Dualzahlen und ist ein Baustein hin zu immer abstrakteren mathematischen Überlegungen.
Schon im Vorfeld symbolischer Operationen können Schüler interessante mathematische Erfahrungen machen, wie diese zwei Lernideen illustrieren: dass man die Dinge mit Namen versehen kann und symbolische Abkürzungen überhaupt möglich sind, liegt vor allem an unserer Fähigkeit, bedeutungsvolle Muster und Ordnungen hinter all den Phänomenen wahrzunehmen.
Dipl.-Phys. R.A.Schäfer
© 2004 Lernen Experimental GmbH