Mathematik Experimental
Denkoberflächen für die Mathematik
95. MNU-Kongress Halle 2004
Dipl.-Phys. Robert A. Schäfer
Lernen Experimental GmbH, Grasbrunn
Einführung
Es ist interessant, sich die Frage zu stellen, was wohl schiefgelaufen ist, wenn jemand in eine Bäckerei geht und dort zwei Staubsaugerbeutel kaufen möchte. Es ist offensichtlich, dass jener arme Kunde etwas nicht so recht verstanden hat: Hat er „nur“ Begriffe verwechselt? Fehlt ihm die Erfahrung, weil er noch nie in einer Bäckerei war und gar nicht wissen kann, was dort angeboten wird? Jedenfalls wirkt die Situation unfreiwillig komisch – und doch ereignet sie sich täglich auf ähnliche Weise... im Mathematikunterricht, beim Hantieren mit mathematischen Begriffen, Symbolen und ihren logischen Zusammenhängen.
Didaktik ist bisweilen die Kunst, sich das Unvorstellbare vorzustellen: dass jemand in der Lage ist, die Begriffe „Bäckerei“ und „Staubsaugerbeutel“ so durcheinander zu bringen, wie manche Schüler zum Beispiel die mathematischen Begriffe „1. Ableitung“ und „Integral“: Die Vorstellungswelt des Lernenden ist noch nicht reichhaltig genug, um die verschiedenen Konzepte auseinander halten zu können.
Manch einer mag verzweifeln, wenn nun wortreich erklärt wird, dass es doch in der Bäckerei knusprige Brezeln und Semmeln gibt und sich im Staubsaugerbeutel Teppichflusen und anderer Schmutz sammelt. Weiß er, was Brezeln, Semmeln, Teppichflusen und Schmutz ist?
Hat er überhaupt eine Vorstellung von den Objekten und ihrer Verortung in einem noch fremden Beziehungsgeflecht mit anderen ebenso diffus wahrgenommenen Objekten?
Hat ein Schüler Probleme mit dem Ableitungskalkül, so hilft es ihm wenig, wenn er an die symbolische Definition der Ableitung erinnert wird. Kryptische Symbole werden dann einfach durch andere kryptischen Symbole ersetzt – und es beginnt eine Schnitzeljagd durch das Symbolrepertoire der Mathematik, wenn nötig bis hin zu den schlichten natürlichen Zahlen und den Grundrechenarten Subtraktion und Division.
Gerade schwächere Schüler sehnen sich nach konkretem Anschauungsmaterial, ausdrucks-starken Bildern und sinnvollen Handlungskontexten. Dort, im Vorhof symbolischer Operationen entstehen die wichtigsten mathematischen Konzepte: nur wenn diese nach vielen Seiten hin erforscht und verstanden sind, lohnt sich eine symbolische Verdichtung.
Lange Zeit war es in der Mathematik geradezu schick, mit möglichst wenig Bildern auszukommen: die letzten einhundert Jahre wurden Symbole zelebriert, als wären sie die Essenz mathematischen Denkens. Dass der Symbolkultur aber eine vieltausendjährige Phase bildhaften Gestaltens vorausging, wird dabei oft vergessen. Die Geschicklichkeit im vielseitigen Wechsel der Darstellungsebenen vom Bild zum Symbol und ihre Rückübersetzung in die Anschauung ist ebenso wertvolles mathematisches Handeln; eine solche Wendigkeit fördert das heuristische Denken und hat auf der bildhaften Ebene schon manches „Heureka“ ermöglicht, noch ehe ein einziges mathematisches Zeichen niedergeschrieben war. Wer nach solchen Erfolgen etwas zu sagen hat, dem seien die Symbole als Mittel zur Präzisierung und zum Gedankenaustausch gegönnt: mathematische Entdeckungen lassen sich aber auch schon mit kleinen Zeichnungen und bloßen Kritzeleien machen. Oder mit Hilfe sogenannter „Denkoberflächen“, um die es in diesem Vortrag geht.
Was ist eine Denkoberfläche?
Eine Denkoberfläche ist ein Ort, an dem Denken formulierbar, sichtbar und mitteilbar wird: aber nicht auf statisch-rezeptive Weise, wie dies bei Symbolen und Zeichnungen auf einem Blatt Papier geschieht, sondern dynamisch-handlungsorientiert.
Denkoberflächen wirken wie kleine Maschinen, in denen ein paar grafische Objekte mit wenigen, überschaubaren Regeln miteinander „verdrahtet“ sind. Diese Objekte, so abstrakt sie auch sein mögen, lassen sich direkt vom Lernenden beeinflussen und reagieren gemäß der ihnen eingebauten Regeln auf dessen Handlungen in Form sinnlich wahrnehmbarer Reize (vorwiegend visuell und akustisch).
Die Objekte können ihre Gestalt und ihre Eigenschaften (Farbe, Kontur, Bewegungs-muster, etc.) wechselseitig verändern. An dem Beobachter liegt es nun, die grafisch veränderlichen Muster zueinander in Beziehung zu setzen, den Mechanismus der Wechselwirkung zu erforschen und die Stringenz des Zusammenwirkens wahrzunehmen und gedanklich einzuordnen.
Zu Beginn wird einfach mit der Maschine gespielt: unvoreingenommen, aufmerksam und mit fast schon kindlicher Neugierde. Während des Spiels entwickelt sich ein stiller Dialog zwischen Beobachter und Denkoberfläche: jede Handlung des Beobachters kann ein neues Detail der Denkoberfläche aufdecken, was auf die Qualität der Fragen zurückwirkt und dafür sorgt,dass auch das Frage-Antwort-Spiel immer deutlichere Konturen bekommt.
Werden auf der Denkoberfläche verschiedene Repräsentationen mathematischer Sachverhalte einander gegenübergestellt –bildhaft und symbolisch- kann sogar eine Dechiffrierung der Symbole möglich werden: man erfasst die Bedeutung von Symbolen noch ehe Fachbegriffe dafür verfügbar sind.
Nachfolgende Denkoberflächen sind das Ergebnis vieler Unterrichstsstunden mit Schülern von der 5. bis zur 13. Klasse. Die Experimente wurden vom Autor während des regulären Unterrichts eingesetzt: als Einführung in ein neues Thema, zum Erkunden bestimmter mathematischer Eigenschaften mit der ganzen Klasse und im Rahmen von Zweiergesprächen zwischen Schülern, aber auch zur Überprüfung des Kenntnisstandes einzelner Schüler durch die Lehrkraft.
Eine Denkoberfläche eignet sich hervorragend als Werkzeug zur Modellbildung (auch im Vorfeld ihrer symbolischen Ausformulierung) und als Medium für eine didaktisch reizvolle, sokratisch geprägte, Gesprächsführung im Unterrichtsalltag.
Die in der Schule gezeigten Experimente können von den Schülern zu Hause am PC nochmals in Ruhe erforscht werden. Hier bietet es sich an, den Schülern „Forschungsaufträge“ mitzugeben, die sie dann schriftlich ausarbeiten. In der nächsten Mathematikstunde können sich die kleinen Forscher dann gegenseitig ihre Experimentierergebnisse präsentieren. So entsteht ein lebendiger Unterrichtskontext, und mathematische Probleme werden zu einem willkommenen Forschungsprojekt für die ganze Klasse.
Denkoberfläche als dialogische Bildformel zur Wissensvermittlung
Wahrnehmungsübung: Das Ableitungsmobile
In diesem Experiment für eine Unterrichtsstunde zur Differentialrechnung sind drei Bilder miteinander verkoppelt. Ziel ist es, zu verstehen nach welcher Gesetzmäßigkeit Linien und Kreise mal grün mal rot dargestellt werden. Dazu führt man alle drei Bildmuster mit der Maus von links nach rechts, während die einzelnen Figuren auf regelhafte Weise Lage und Farbgebung ändern. Das „Dreigespann“ erinnert dabei an ein Deckenmobilé, dessen Figuren auf und abtanzen. Das Experiment gewinnt seinen Reiz aus dem Umstand, dass sich eine dem Bild innewohnende Gesetzmäßigkeit (nämlich der Verknüpfung einerAusgangsfunktion f mit ihren 2 Ableitungen) auf der grafischen Ebene widerspiegelt. So ist das Ableitungskalkül unsichtbar in die Denkoberfläche eingebettet und wird prozesshaft als Zusammenspiel dreier grafischer Muster sichtbar und interpretierbar.
Bei einem solchen Experiment entfaltet sich ein besonderes Frage- und-Antwort-Spiel „Was passiert, wenn ...?“, „Warum ändern sich die Dinge so und nicht anders?“. Man überlegt sich immer wieder neu, was als nächstes zu tun ist, damit dieses oder jenes passiert – man ist überrascht, wenn etwas ganz anderes eingetreten ist, präzisiert erneut seine Handlung und testet wieder die Reaktion des Bildes.
Ein von mir hochgeschätzter Medienphilosoph, Vilém Flusser, beschreibt den dialoghaften Ablauf mit diesen „modernen Computerbildern“ folgendermaßen:
„ … man kann derartig festgehaltene Bilder verändern. Man kann in eine Art Zwiegespräch zwischen der eigenen Einbildungskraft und jener, die in den Computer hineingefüttert wurde, treten“
aus „Der Flusser-Reader“, Bollmann 1996
Karlheinz Essl, ein Komponist, der solche Computerbilder werkzeugartig zur Ideenfindung einsetzt, drückt es so aus:
„… Die andere Methode, der ich mich widme, sieht den Computer als experimentelle Werkbank, um kompositorische Ideen zu entwickeln und erproben. […] So kann der Computer zu einer –selbstgeschaffenen- Kontrollinstanz werden, zum unbestechlichen Spiegel der eigenen Vorstellung.“
aus „Beiträge zur elektronischen Musik 5“; Algorithmische Komposition in Echtzeit
| Ziele | Methode |
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Heuristische Strategien
| Induktion | Variation |
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Probiere systematisch |
Variiere das Gegebene |
| Interpretation | Reduktion |
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Übersetze in einen anderen Kontext |
Unterscheide Fälle |
Hinweis: Die blau markierten Textstellen stellen heuristische Verfahren dar, die sich gut bei den hier vorgestellten Experimenten zum Erkunden einer Problemsituation einsetzen lassen. (Quelle: Prof. Alfred Schreiber, www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/didmath/)
Die Heuristik befasst sich mit Strategien und Methoden zur Klärung der Fragen „Wie kann ich etwas wissen und in Erfahrung bringen?“, „Wie finde ich am geschicktesten die Lösung zu (m)einem Problem?“, „wie läßt sich das System planvoll analysieren und ordnen?“
Denkoberflächen eignen sich hervorragend zur Schulung des heuristischen Denkens: während der Lernende mit einer solchen vorbereiteten Experimentierumgebung arbeitet, begegnet er nicht nur den wechselseitigen Beziehungen von Begriffen, sondern er ist auch immer mit seiner eigenen Art zu denken konfrontiert:: „Was kann ich durch mein Handeln in Erfahrung bringen?“, „Welches könnte die geschickteste Strategie sein, das dargestellte Phänomen bestmöglich zu verstehen? „Welche Schlüsse ziehe ich aus den beobachteten Zusammenhängen?“.
In einer Reihe von Beispielen zur Analysis (Differentialrechnung), aber auch zur Stochastik soll nachfolgend aufgezeigt werden, wie solche heuristische Handlungsideen einzelnen Experimenten zum Ausdruck gebracht werden können.
Konstruktiv-geometrischer
Zugang zur Differentialrechnung
Idee: Metapher „Jalousie“ als Handlungsmodell
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Wirkungen der Jalousiensteuerung An der linken Seite des Fensters ist das physikalische Modell einer Jalousie (von der Seite) dargestellt: der rote Kreis (Jalousieknopf) wird auf- und abgeschoben. Gleichzeitig ändern sich beide mathematischen Bilder mit: oben das Steigungsfeld (rote, weiße und grüne Striche) und unten die Lage roter, weißer und grüner Kreise). |
lementare Beziehung zweier Bilder Das ursprüngliche Bild des Jalousienmodells wird hier leicht abstrahiert widergegeben: im linken Bildfeld kann wieder ein Kreis verschoben werden. Allerdings reagiert das rechte Bildfeld mit veränderlichen Steigungen (hier: grüner Strich) nur auf vertikale Bewegungen des Kreises! Jedem Punkt auf selber Höhe ist also dieselbe Steigung im rechten Bild zugeordnet. |
Grafisches Differenzieren
Anwendung der Jalousien-Metapher
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Experimentiere intensiv mit beiden Bildern! |
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Denke während des Experimentierens |
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Variiere die Problemstellung: |
Handlungsmodell zum Ableiten |
Hat der Lernende das Jalousien-Modell aus den zwei vorhergehenden Experimenten (Prinzip der Jalousiensteuerung und die Wechselwirkung zweier Bilder) verstanden, kann er ebenso leicht viele Kreise in Verbindung bringen mit Steigungsfeldern unterschiedlicher Neigung. Verblüffend ist es, zu erleben, wie sich im hier gezeigten Beispiel dem Steigungsfeld eine bestimmte Parabelform einpassen läßt – und dabei die vertikale Position beliebig variiert werden kann, ohne auf die Lage der Kreise im Bild darunter Einfluss zu nehmen. An diesen Zusammenhang sollten die Lernenden bei Einführung der Integrationskonstanten im Rahmen der Integralrechnung erinnert werden.
Denkoberfläche zum visuell-interaktiven Erforschen
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Beobachte den inneren |
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Verhaltensstudie zur inneren Beziehung zweier Bilder |
Wurde das Handlungsmodell zum Ableiten verstanden, so kann auf grafischem Wege auch der Übergang vom Diskreten (Kreise) zum Kontinuierlichen (Kurven) nachvollzogen werden, was auf symbolischer Ebene üblicherweise als Grenzwertdiskussion und Hinführung zu den Ableitungsregeln behandelt wird. Gilt es relative Extrema eines Funktionsgraphen dritten Grades zu bestimmen, heißt die Rechenanweisung „Suche u.a. nach Nullstellen in der Ableitungsfunktion“. Mit diesem Experiment wird auf eindrucksvolle Weise der dynamische Zusammenhang zwischen Ausgangsgraph und dem Graph seiner 1. Ableitung sichtbar gemacht. Wie verhält sich die obere Kurve, wenn die Parabel im Bild der 1. Ableitung unterhalb der x-Achse liegt und zudem nach unten geöffnet ist? Man fordert die Lernenden auf, Vorhersagen zu machen, vielleicht nochmals mit dem Jalousienmodell selbst zu spielen, parallel die nötigen Rechnungen durchzuführen, die symbolischen Resultate zu interpretieren und so auf verschiedenen Repräsentationssebenen das Phänomen der Ableitung immer deutlicher einzukreisen.
Variation der Aufgabenstellung
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Gegeben ist die Funktionsschar |
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Medi(t)ation zu f ‘(xo) = m |
Hier wird auf einen weiteren Aspekt der Kurvendiskussion aufmerksam gemacht. Beide Bilder dienen dazu, über den Satz <Steigungen in f sind y-Werte in f ’> nachzudenken. Hier kann die Neigung der unteren Linie am seitlichen Schiebebalken variiert werden; ebenso läßt sich der Öffnungsfaktor der Parabel im oberen Bild steuern, während sich der Graph der 1. Ableitung mitändert.
Wechselwirkungen zwischen Bild- und Symbolebene
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Vorstellungsübung: |
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Experimentieren mit einem Polynom dritten Grades |
Weitere Beispiele zur Analysis II
Der Kurvenjongleur |
Konstruktion einer Stammfunktion |
Synopse der Ableitungen |
Differenzenbildung |
Die Reichhaltigkeit und Komplexität der mathematischen Symbolsprache macht es möglich, zahllose verschiedene Handlungsmodelle und Bildstudien zu entwerfen:
Beispiele zur Analysis I
Bedeutung von ax²+bx+c=0 |
Der Funktionsbegriff |
Parameteränderungen |
Termumformungen |
weitere Beispiele zur Analysis
vier Parabeln mit ähnlichen Funktionstermen |
Multiplizieren mit einer Parabelschablone |
Übungen zur Steigerung der Aufmerksamkeit für Symbol- und Formbeziehungen.
Stochastik und Statistik
Stochastische Aufgabenstellungen können ebenfalls in geeignete Experimentiersituationen verwandelt werden. Wichtig ist dabei, dass nie zu viele Informationen und Zusammenhänge in ein Bild gepackt werden. Schon wenige Interaktionsmöglichkeiten genügen, um didaktisch wertvolle Erkenntnisse aus einer Experimentierumgebung heraus extrahieren zu können.
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Spielerisches Entdecken einfacher |
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Zwei farbig markierte Rechtecke lassen sich auf einer Art Billardtisch verschieben - mit oder ohne Überlappungsbereich. Eine voreingestellte Anzahl von Kreisen bewegt sich sogleich beliebig über das Bildfeld; die Kreise prallen an den Rändern ab und werden schließlich von einem, oder sogar beiden Rechtecken eingefangen. Währenddessen wird an den obigen zwei Entscheidungsbäumen mitgezählt, wieviele Kreise sich innerhalb der einzelnen Areale aufhalten. Auch die Schnittmenge läßt sich mit solchen Baumdiagrammen auswerten, wie man am weißen Zahlenfeld und den weißen Kreisen im Überlappungsgebiet beider Rechtecke erkennen kann.
Beispiele zur Stochastik
einfaches Baumdiagramm |
Mittelwert und Standardabweichung |
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Zu einer formalisierten „Urne“ kann der Blau-Rot-Anteil farbiger Kugeln eingestellt werden: das Zufallsspiel sieht vor, nacheinander zwei Kugeln zu ziehen und die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Elementarereignisse ausrechnen zu lassen. Das Resultat wird gleichzeitig grafisch in Form eines Balkendiagramms angezeigt. Wird der Rot-Grün Anteil in der Urne leicht verändert, ist dies auch an den sich sofort ändernden Balkenhöhen bemerkbar. |
An den sechs blauen Balken, die sich per Hand variieren lassen, ist abzulesen, wieviele Schüler die Noten 1 bis 6 haben. Interessant dabei ist, dass sofort Mittelwert (roter Strich) und Standardabweichung (gelber Querbalken) angezeigt werden. Das Experiment ist so gestaltet, dass man regelrecht Verhaltensstudien vornehmen kann: wie ändert sich der Notendurchschnitt, wenn ein Schüler anstatt der Note 1 die Note 6 bekommt? |
Das Galtonbrett |
Entstehungs-“Geschichte“ der Bionomialverteilung |
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Dieses interaktive Bild befasst sich mit der Verknüpfung der drei großen Bereiche Stochastik, Zufallsexperiment und Statistik. Oben wird eingestellt, wie wahrscheinlich eine Links- oder Rechtsablenkung bei jeder Stufe des Galtonbrettes ist (siehe Mitte: Zufallsexperiment). Unten entsteht nach vielen Versuchen immer deutlicher das Profil der Binomialverteilung. |
Es gibt viele mögliche Wege quer über ein Gitterfeld, von links oben nach rechts unten. Werden in einer bestimten Höhe an jedem Gitterpunkt Zähler aufgestellt und in Balkenlängen grafisch umgesetzt, bemerkt man auch hier das typische Glockenkurvenprofil der Binomialverteilung. |
weitere Beispiele zur Stochastik
Modelle |
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situativ (Alltagssituation) |
formal (Theorie) |
Wieviele Schüler sind durchschnittlich täglich anwesend? |
Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion |
kleines Spiel zur Teilbarkeit
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Spielregel:
Mathem. Hürde: |
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Einsetzbarkeit der Denkoberflächen
Die hier vorgestellten Beispiele stellen einen kleinen Querschnitt der bislang entwickelten Experimente zur Schulmathematik dar.
Auch zur Physik, Chemie und allen naturwissenschaftlichen Themen mit komplexen Wirkzusammenhängen sind geeignete Experimente entwickelbar. Bilder, Texte und Formeln erfahren durch solche Denkoberflächen mit didaktischen Design eine wertvolle Erklärungshilfe. Man erfährt etwas über die beteiligten Objekte eines Phänomens, indem man ihren dynamisch darstellbaren Kontext erforscht. Begriffe brauchen also nicht adhoc gesetzt werden, sondern entfalten im aufmerksamen Experimentieren und Beobachten ihre jeweilige Bedeutung.
Sowohl Lehrkräfte als auch Schüler profitieren von derart gestalteten Denkwerkzeugen:
Verwendungsmöglichkeiten der Denkoberflächen für Lehrkräfte:
- Als Einstieg in ein neues Thema
- zur Veranschaulichung von Problemen, die in Textform schwer erfassbar sind
- zum Überprüfen des Kenntnisstandes der SchülerInnen
Verwendungsmöglichkeiten der Denkoberflächen für Lernende:
- zum Vertiefen des Gelernten
- für experimentell geprägte Hausaufgaben
- für Referate und Schülerbeiträge vor der Klasse
- als interaktiv-visuelle Formelsammlung
Quellen
- Pólya, Schule des Denkens, „How to solve it“, 1949
- A. Schreiber, Grundzüge der Mathematikdidaktik, www.uni-flensburg.de/mathe …
- Vilém Flusser, Der Flusser-Reader, Bollmann 1996
- Karlheinz Essl, Beiträge zur elektronischen Musik 5, Algorithm. Komp. in Echtzeit
- Sybille Krämer, Symbolische Maschinen, wb 1988
- Rudolf Arnheim, Anschauliches Denken, DuMont 1977
Modulzuordnungen zu den Lernpaketen von Lernen Experimental
Auf unserer Internetseite www.tafelbilder.de finden Sie eine breite Auswahl an Lernsoftware-Paketen für den mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht.
Neu! Lernen Experimental Mathematik Klasse 5-6 mit 60 Modulen zu lehrplanrelevanten Themen des Mathematikunterrichts (achtjähriges Gymnasium)
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Experiment zu finden in den Lernpaketen zu Mathematik Experimental |
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Wahrnehmungsübung: Das Ableitungsmobile |
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Wirkungen der Jalousiensteuerung |
Mathematik Experimental |
Elementare Beziehung zweier Bilder |
Mathematik Experimental |
Handlungsmodell zum Ableiten |
Mathematik Experimental |
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Verhaltensstudie zur inneren Beziehung zweier Bilder |
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Medi(t)ation zu f ‘(xo) = m |
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Experimentieren mit einem Polynom dritten Grades |
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Der Kurvenjongleur |
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Konstruktion einer Stammfunktion |
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Synopse der Ableitungen |
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Differenzenbildung |
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Bedeutung von ax²+bx+c=0 |
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Der Funktionsbegriff |
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Parameteränderungen |
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Termumformungen |
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vier Parabeln mit ähnlichen Funktionstermen |
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Multiplizieren mit einer Parabelschablone |
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Spielerisches Entdecken einfacher Baumdiagramme und logischer Begriffe |
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einfaches Baumdiagramm |
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Mittelwert und Standardabweichung |
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Das Galtonbrett |
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Entstehungs-“Geschichte“ der Bionomialverteilung |
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Wieviele Schüler sind durchschnittlich täglich anwesend? |
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Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion |
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kleines Spiel zur Teilbarkeit |
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Ende des Vortrages